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En algèbre linéaire, un système d’équations est un système constitué de plusieurs équations linéaires qui portent sur les mêmes inconnues. Généralement, le nombre d’équations, qu’il est possible de poser, correspond au nombre d’inconnues. Il existe plusieurs façons de résoudre de tels systèmes. Face à des systèmes simples, la méthode la plus usitée est la résolution du système par substitution. On utilise l’une des équations pour exprimer l’une des inconnues en fonction de l’autre. Puis, dans l’autre équation on remplace cette inconnue par l’expression trouvée. On obtient, ainsi, une équation dans laquelle il ne reste plus qu’une seule inconnue et que l’on sait résoudre. On en déduit ensuite la valeur de la deuxième inconnue.

Soit [latex]\begin{cases} 7x + 10y = 36 \\ -2x + y = 9 \end{cases}[/latex]

Alors [latex]\begin{cases} 7x + 10y = 36 \\ y = 2x + 9 \end{cases}[/latex]

L’équation [latex]7x + 10y = 36[/latex] devient [latex]7x + 10 \left( 2x + 9 \right) = 36[/latex]

D’où [latex]x = -2[/latex]

On en déduit la valeur de la deuxième inconnue avec l’équation [latex]-2x + y = 9[/latex]

[latex]y = 2x + 9[/latex]

[latex]y = 2 \left( -2 \right) + 9[/latex]

[latex]y = 5[/latex]

La solution est le couple [latex]\left( -2 ; 5 \right)[/latex]

Dans certains cas de figure, l’observation du système d’équations permet de voir des particularités qui peuvent permettre de gagner du temps en procédant directement à une méthode de résolution par combinaison ou réduction. Pour ce faire, on multiplie l’une ou les équations par des nombres convenablement choisis de manière à ce que l’une des inconnues disparaisse par addition ou soustraction des équations membre à membre.

Soit [latex]\begin{cases} 5x - 2y = 4 \\ 2x + 3y = 13 \end{cases}[/latex]

On multiplie les deux membres de la première équation par 3 sans impact sur l’égalité et les deux membres de la deuxième équation par 2.

[latex]\begin{cases} 15x - 6y = 12 \\ 4x + 6y = 26 \end{cases}[/latex]

En additionnant les deux équations membre à membre : [latex]15x + 4x -6y +6y = 12 + 26[/latex]

On obtient [latex]x = 2[/latex]

On utilise la première équation [latex]5x - 2y = 4[/latex] pour en déduire [latex]y = \frac{5x - 4}{2}[/latex]

Soit [latex]y = 3[/latex]

La solution est le couple [latex]\left( 2 ; 3 \right)[/latex]

Une observation encore plus fine peut parfois permettre de mettre en évidence une possibilité d’éliminer de suite une inconnue par la méthode dite de comparaison. Cette méthode consiste à extraire la même inconnue des deux équations en fonction de l’autre inconnue, puis à écrire l’égalité des expressions obtenues.

Soit [latex]\begin{cases} 2x - 5y = -9 \\ 2x + 4y = 9 \end{cases}[/latex]

Ce système peut s’écrire [latex]\begin{cases} 2x = 5y - 9 \\ 2x = -4y + 9 \end{cases}[/latex]

D’où [latex]5y - 9 = -4y + 9[/latex]

Soit [latex]y = 2[/latex]

En utilisant l’une des deux équations d’origine comme [latex]2x = 5y - 9[/latex]

On trouve [latex]x = \frac{1}{2}[/latex]

La solution est le couple [latex]\left( 2 ; \frac{1}{2} \right)[/latex]