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Une équation est une égalité entre deux membres. Il s’agit de déterminer une certaine quantité, connaissant simplement une égalité qui fait intervenir cette quantité sous forme d’une inconnue, à laquelle on donne un nom, le plus souvent [latex]x[/latex]. Il existe plusieurs sortes d’équations, dont beaucoup sortent du cadre de ce rappel.

Nous allons focaliser sur l’équation algébrique, polynomiale d’un certain degré, pouvant se mettre sous la forme [latex]a_nx^n + \ldots + a_0 = 0[/latex], dans laquelle les [latex]a_n[/latex] sont des nombres réels et [latex]n[/latex] est un nombre entier.

Pour le premier degré, l’équation est de la forme [latex]ax + b = 0[/latex] avec comme unique solution [latex]x = \frac{-b}{a}[/latex]. Si [latex]a = 0[/latex] alors il faut distinguer deux cas : celui où [latex]b = 0[/latex], qui implique une infinité de solution pour [latex]x[/latex] et celui où [latex]b \ne 0[/latex] pour lequel il n’existe aucune solution.

La forme générale de l’équation du second degré est [latex]ax^2 + bx +c = 0[/latex] avec [latex]a \ne 0[/latex], sinon on reviendrait à une équation du premier degré. Une méthode classique de résolution des équations du second degré fait appel au calcul du discriminant : [latex]\Delta = b^2 - 4ac[/latex], avec trois cas possibles.

[latex]\Delta < 0[/latex], l’équation n’admet pas de solution réelle

[latex]\Delta = 0[/latex], l’équation admet une solution unique [latex]x_0 = \frac{-b}{2a}[/latex]

[latex]\Delta > 0[/latex], l’équation admet deux solutions réelles [latex]x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}[/latex] et [latex]x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}[/latex]

Il est possible d’arriver plus rapidement à la solution de l’équation en appliquant la formule quadratique qui est déduite de la méthode de complétion du carré  : [latex]x = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/latex] et [latex]x = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/latex] qui se synthétise sous la forme [latex]x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/latex]

Lorsque [latex]\Delta = 0[/latex] ou [latex]\Delta > 0[/latex], il est possible d’utiliser la méthode de factorisation d’un trinôme, qui amènera à la conclusion que l’équation est égale à zéro lorsque l’un ou l’autre des facteurs est égal à zéro.

[latex]\Delta = 0[/latex], l’équation devient [latex]ax^2 + bx +c = a \left( x - x_0 \right)^2[/latex]

[latex]\Delta > 0[/latex], l’équation devient [latex]ax^2 + bx +c = a \left( x - x_1 \right)\left( x - x_2 \right)[/latex]