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La règle des signes dans l’ensemble [latex]\mathbb{R}[/latex] nous dicte que le produit de deux nombres négatifs est positif et donc que le carré de tout nombre est positif. Ainsi, si le nombre est positif, son carré, produit de deux nombres positifs, est positif et si le nombre est négatif, son carré, produit de deux nombres négatifs, est également positif.

Nous savons que [latex]\sqrt{x} \times \sqrt{x} = x[/latex], ce qui nous permet d’écrire que [latex]\left(\sqrt{x}\right)^2 \equiv x[/latex], ou formulé différemment, que si [latex]\sqrt{x} = n[/latex] alors [latex]n^2 = x[/latex].

Si nous cherchions une solution à [latex]\sqrt{-x}[/latex], ceci reviendrait à trouver un nombre négatif qui élevé au carré donnerait un résultat négatif et nous avons vu que ce n’est pas le cas. C’est pour cela que nous ne savons prendre la racine carrée que des nombres [latex]x \ge 0[/latex] dans l’ensemble [latex]\mathbb{R}[/latex].

Prenons une équation aussi simple que [latex]x^2 + 1 = 0[/latex]. Résoudre cette équation revient à trouver que [latex]x = \sqrt{-1}[/latex], ce qui explique pourquoi cette équation n’a pas de solution dans l’ensemble [latex]\mathbb{R}[/latex].

De 1540 à 1572 les mathématiciens italiens Tartaglia,  Cardan et Bombelli se sont confrontés à cette difficulté. Tartaglia a essayé de résoudre des équations du troisième degré, Cardan [0] a amorcé une formule de résolution et Bombelli [1] a utilisé [latex]\sqrt{-1}[/latex]. C’est en 1637 que le mathématicien français Descartes a utilisé le terme de « nombres imaginaires » et c’est en 1777 que le mathématicien suisse Euler a défini le nombre [latex]i = \sqrt{-1}[/latex].

Propriétés des nombres imaginaires:

• [latex]\sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = -1[/latex]
• [latex]i \times i = -1[/latex]
• [latex]i^2 = -1[/latex]

Exemples d’utilisation des nombres imaginaires :

• [latex]\sqrt{-4} = \sqrt{4} \times \sqrt{-1} = 2i[/latex]
• [latex]\sqrt{-5} = \sqrt{-1} \times \sqrt{5} =i \sqrt{5}[/latex]
• [latex]\sqrt{2i} = 1 + i[/latex] car [latex]\left(1 + i\right)^2 = 2i[/latex]

L’ensemble des nombres imaginaires se note [latex]i\mathbb{R}[/latex] et contient des éléments comme [latex]{-5i, -4i, -3i, -2i, -i, 0i, i, 2i, 3i, 4i, 5i}[/latex].

La résolution d’une équation plus complète amène à la décomposition ci-dessous.

[latex]x^2 + 2x + 2 = 0[/latex]

Cette équation est de la forme :

[latex]ax^2 + bx + c = 0[/latex]

avec

[latex]a = 1[/latex]

[latex]b = 2[/latex]

[latex]c = 2[/latex]

En introduisant la constante [latex]k = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = 1[/latex]

On obtient [latex]x^2 + 2x + 1 - 1 + 2 = 0[/latex]

En appliquant [latex]\left(a - b\right)^2 = a^2 - 2ab +b^2[/latex]

[latex]\left(x + 1\right)^2 - 1 + 2[/latex]

[latex]\left(x + 1\right)^2 +1[/latex]

D’où l’équation [latex]\left(x + 1\right)^2 +1 = 0[/latex]

[latex]\left(x + 1\right)^2 = -1[/latex]

[latex]x + 1 = \pm\sqrt{-1}[/latex]

[latex]x + 1 = \pm\sqrt{1}i[/latex]

[latex]x + 1 = \pm i[/latex]

Donc [latex]x = -1 + i[/latex] et [latex]x = -1 - i[/latex]

En résumé [latex]x = -1 \pm i[/latex]

Le résultat ainsi obtenu s’appelle un nombre complexe, car il est constitué d’un nombre réel et d’un nombre imaginaire, et il appartient à l’ensemble [latex]\mathbb{C}[/latex], avec [latex]\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}[/latex].

Note : il était possible d’arriver plus rapidement à la solution de l’équation en appliquant la formule quadratique et non pas la factorisation.

[latex]x = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/latex] et [latex]x = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}[/latex]

Soit [latex]z[/latex] un nombre complexe, [latex]z \in \mathbb{C}[/latex], avec [latex]z = x + iy[/latex] où [latex]x, y \in \mathbb{R}[/latex]. On appelle [latex]iy[/latex] le « terme imaginaire »,  [latex]y[/latex] la « partie imaginaire » et [latex]x[/latex] le « terme réel » ou la « partie réelle ». Lors d’une addition de nombres complexes, on somme les parties réelles et on somme les termes imaginaires en additionnant leur partie imaginaire. La logique reste la même pour une soustraction, pour laquelle on additionne l’opposé du nombre complexe.

Soit [latex]z_1 = x_1 + iy_1[/latex] et [latex]z_2 = x_2 + iy_2[/latex]

alors [latex]z_1 + z_2 = x_1 + x_2 + i(y_1 + y_2)[/latex]

et [latex]2z_1 = z_1 + z_1 = x_1 + x_1 + i(y_1 + y_1) = 2x_1 + i2y_1[/latex]

et [latex]z_1 - z_2 = x_1 - x_2 + i(y_1 - y_2)[/latex]

La multiplication dans l’ensemble [latex]\mathbb{C}[/latex] applique la règle de distribution.

[latex]z_1 \times z_2 = (x_1 + iy_1) \times (x_2 + iy_2)[/latex]

[latex]= x_1 \times x_2 + i(x_1 \times y_2) + i(y_1 \times x_2) + i^2(y_1 \times y_2)[/latex]

[latex]= x_1 \times x_2 + i(x_1 \times y_2) + i(y_1 \times x_2) - (y_1 \times y_2)[/latex]

[latex]= x_1 \times x_2 - y_1 \times y_2 + i(x_1 \times y_2 + x_2 \times y_1)[/latex]