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Les logarithmes, inventés par le mathématicien écossais John Napier (appelé Neper en français), permettent d’exécuter des calculs compliqués sur des grands nombres, en passant par des nombres moins grands, plus facilement manipulables, et en donnant la possibilité de transformer des multiplications difficiles en simples additions. Leur usage s’étend à la représentation de phénomènes physiques qui croissent exponentiellement, c’est à dire faisant appel aux exposants. Les logarithmes sont aussi utiles pour faciliter des représentations graphiques dans lesquelles la représentation logarithmique avantage les petits nombres et écrase la dynamique des grands nombres.

Progression arithmétique Progression géométrique
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
8 256
9 512
10 1024

Pour illustrer le concept, utilisons un principe d’Archimède et mettons en parallèle deux échelles de nombres sous la forme des deux progressions ci-dessus. Pour multiplier deux nombres de la colonne « Progression géométrique », il suffit d’additionner les deux nombres qui leur correspondent dans la colonne « Progression arithmétique » et de lire le résultat dans la colonne « Progression géométrique ».

[latex]8 \times 64 \Rightarrow 3+6=9[/latex] qui correspond à [latex]512[/latex] dans le tableau.

Écrit de façon plus rigoureuse :

[latex]8 \times 64=2^{3}+2^{6}=2^{3+6}=2^{9}=512[/latex]

En voulant compter le nombre de grains dans un tas de sable, Archimède [2] a proposé de représenter les grands nombres par des puissances de 10. A cette époque, il n’était pas loin des logarithmes avec son astuce de calcul du produit des grands nombres.

Le logarithme décimal ou [latex]log_{10}[/latex] ou [latex]log[/latex] ou [latex]lg[/latex] ou logarithme de base 10 est une fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 en 10. C’est également la fonction réciproque de la fonction [latex]f(x)=10^{x}[/latex].

Fonction logarithme de base 10

Pour [latex]x>0[/latex], si [latex]y=log(x)[/latex] alors [latex]x=10^{y}[/latex] et [latex]10^{log(x)} \equiv x[/latex].

[latex]10^{1}=10\:\Longrightarrow log(10)=1[/latex]

[latex]10^{2}=100\:\Longrightarrow log(100)=2[/latex]

[latex]10^{3}=1.000\:\Longrightarrow log(1.000)=3[/latex]

[latex]10^{4}=10.000\:\Longrightarrow log(10.000)=4[/latex]

Rappels :

[latex]log\,yy\prime=log\,y+log\,y\prime[/latex]

[latex]log\,\frac{y}{y\prime}=log\,y-log\,y\prime[/latex]

[latex]log\,a^{n}=n\,log\,a[/latex]

[latex]log\,a=\frac{log\,a^{2}}{2}[/latex]

Application à la multiplication des grands nombres :

Si [latex]A = 10^a[/latex] et [latex]B = 10^b[/latex]

Alors [latex]A \times B = 10^a \times 10^b = 10^{(a+b)}[/latex]

Et [latex]a + b = log\,(A \times B) = log\,(A) + log\,(B)[/latex]

L’utilisation des tables de logarithmes de John Neper permet de rapidement trouver le résultat d’une multiplication par application des principes exposés ci-dessus.

 

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