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Le cas le plus simple de calcul est celui dans lequel tous les évènements ont la même probabilité ou chance de se produire. Dans ce cas, pour un évènement [latex]A[/latex], la probabilité est [latex]P(A) = \frac{nombre\ d' \acute el\acute ements\ dans\ A}{nombre\ total\ d' \acute el\acute ements} = \frac{card(A)}{card(\Omega)}[/latex], sachant que [latex]0 \le P(A) \le 1[/latex].

Dans de nombreuses expériences aléatoires, on peut ne pas être directement intéressé par le résultat de l’expérience, mais par une  certaine fonction de ce résultat. Cette notion, appelée variable aléatoire, est une application qui fait généralement correspondre un nombre à une éventualité. Reprenons l’exemple du dé et rajoutons une variable aléatoire [latex]X[/latex] avec le fait que si on obtient un chiffre pair on gagne 2 euros, donc [latex]X = +2[/latex] et si on obtient un chiffre impair on perd 3 euros, donc [latex]X = -3[/latex].

Pour définir une loi de probabilité d’une variable aléatoire [latex]X[/latex], il est nécessaire de :

• Déterminer toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire [latex]X[/latex], que l’on note [latex]x_1, x_2, x_3, \ldots[/latex]
• Pour chaque valeur, déterminer la probabilité [latex]P(x_1), P(x_2), P(x_3), \ldots[/latex], notée aussi [latex]P(X = x_1), P(X = x_2), P(X = x_3), \ldots[/latex], sachant que [latex]P(x_1) + P(x_2) + P(x_3) + \ldots + P(x_n) = 1[/latex]

Dans notre exemple où tous les évènements ont la même probabilité, on a donc [latex]X(\Omega) = \{2, -3\}[/latex] et :

[latex]P(X = 2) = P(\{2, 4, 6\}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}[/latex]

[latex]P(X = -3) = P(\{1, 3, 5\}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}[/latex]

La loi de probabilité [latex]P(X = x_i)[/latex] peut être reportée dans le tableau.

Si on cherche à savoir combien ce jeu pourrait nous rapporter en moyenne, il convient de s’intéresser à l’espérance. Pour [latex]X(\Omega) = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}[/latex], on a [latex]E[X] = x_1 \times P(x_1) + x_2 \times P(x_2) + \ldots + x_n \times P(x_n)[/latex].

Dans notre exemple : [latex]E[X] = -3 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}[/latex], c’est à dire qu’en jouant un très grand nombre de fois, on est amené à perdre 50 centimes d’euro à chaque partie.

Il existe des cas pour lesquels on cherche à calculer une probabilité alors qu’on possède déjà une information. C’est ce qu’on appelle une probabilité conditionnelle. Dans l’exemple du dé, on pourrait chercher quelle est la probabilité d’avoir le chiffre 1 alors qu’on sait que l’on vient d’obtenir un chiffre impair. Ceci revient à chercher la probabilité d’un événement A sachant que l’événement B s’est produit et on écrit : [latex]P_{B}(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}[/latex].

Dans notre exemple cela se traduit par :

[latex]P_{B}(A) = \frac{P(obtenir\ le\ chiffre\ 1 \ \cap \ obtenir\ un\ chiffre\ impair)}{P(obtenir\ un\ chiffre\ impair)}[/latex]

[latex]P_{B}(A) = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}[/latex]