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Il est fréquent de voir le mot « et » ou le mot « ou » dans le texte d’un énoncé de probabilité et il est nécessaire de pouvoir le traduire mathématiquement. De façon très basique, le « et » correspond à l’intersection et le « ou » correspond à l’union.
Prenons l’exemple d’un tirage dans un jeu de carte. Si on cherche la probabilité d’obtenir un cœur « ou » un as, et si on appelle A = « obtenir un cœur » et B = « obtenir un as », alors cela revient à chercher [latex]P \left( A \cup B \right)[/latex]. De plus, il convient de noter que le « ou » est souvent associé à une addition.
En revanche, si on cherche la probabilité d’obtenir un cœur « et » un as, cela revient à calculer [latex]P \left( A \cap B \right)[/latex]. De la même façon, le « et » est souvent associé à une multiplication.
Une épreuve de Bernouilli est une épreuve où il y a deux issues : succès ou échec. Dans l’exemple de pile ou face, on pourrait affirmer que pile est un succès et face un échec. Lancer une pièce est donc une épreuve de Bernouilli. Il y a alors deux paramètres : [latex]p[/latex] qui est la probabilité de succès, et [latex]q[/latex] qui est la probabilité d’échec. Comme il n’y a que deux possibilités et que la somme des probabilités vaut 1, on a donc : [latex]p + q = 1[/latex], soit [latex]q = 1 - p[/latex].
On peut avoir des variables aléatoires distribuées selon des épreuves de Bernouilli. Si on lance un dé, la variable aléatoire [latex]X[/latex] vaut 1 si on obtient un 5 (succès) et 0 si on obtient un autre chiffre (échec). On a, ainsi, 2 possibilités (0 ou 1) pour [latex]X[/latex] : c’est une épreuve de Bernouilli. On peut répéter [latex]n[/latex] fois de suite et de façon indépendante cette expérience, c’est ce qu’on appelle, alors, un schéma de Bernouilli. Une variable aléatoire qui suit un schéma de Bernouilli, et pour laquelle on compte le nombre de succès, s’appelle une loi binomiale. Dans l’exemple précédant, [latex]X[/latex] suit une loi binomiale ou un schéma de Bernouilli, de paramètres [latex]n[/latex] et [latex]p[/latex].
Il convient de comprendre que pour une épreuve de Bernouilli il n’y a qu’un paramètre : la probabilité de succès [latex]p[/latex], mais que pour un schéma de Bernouilli ou loi binomiale, il y a 2 paramètres : [latex]p[/latex] qui est la probabilité de succès et [latex]n[/latex] qui le nombre de fois que l’on répète l’expérience.
Si [latex]X[/latex] suit une loi binomiale de paramètres [latex]n[/latex] et [latex]p[/latex], on note : [latex]X \sim B(n, p)[/latex]. On effectue [latex]n[/latex] expériences avec [latex]X[/latex] comptant le nombre de succès. Pour déterminer la loi de probabilité de [latex]X[/latex], il faut donc calculer [latex]P(X=0), P(X=1), P(X=2) \ldots P(X=n)[/latex] ce qui peut devenir difficile pour une valeur de [latex]n[/latex] très grande.
Dans ce cas on utilise la formule [latex]P \left( X = k \right) = \left( \begin{array}{ c } n \\ k \end{array} \right) p^k q^{n - k}[/latex], pour tout [latex]k \in \{0, \ldots, n\}[/latex]. Cette formule se lit de la manière suivante :
- On cherche la probabilité d’obtenir [latex]k[/latex] succès : [latex]P \left( X = k \right)[/latex]
- On choisit quelles expériences parmi les [latex]n[/latex] vont être des succès et on veut [latex]k[/latex] succès : [latex]\left( \begin{array}{ c } n \\ k \end{array} \right)[/latex] étant le coefficient binomial pour k succès, il se lit « k parmi n », mais s’écrit aussi sous la forme d’une « combinaison de k parmi n » [latex]C_n^k = \frac{n!}{k! \left( n - k \right)!}[/latex]
- Une fois obtenus [latex]k[/latex] succès, la probabilité de succès est [latex]p[/latex] : [latex]p^k[/latex]
- Comme il y a [latex]k[/latex] succès et [latex]n[/latex] épreuves, il y a [latex]n - k[/latex] échecs, et comme la probabilité d’échec est [latex]q[/latex] ou [latex]\left( 1 - p \right)[/latex] : [latex]q^{n - k}[/latex]
